Les courbes de Bertrand

 Bertrand est assis devant son devoir de maths. Ce dimanche après-midi, il serait volontiers resté un peu plus longtemps chez Marc, ce qui aurait présenté l’intérêt de tester un peu plus longuement sa nouvelle console vidéo. Mais c’est l’année du bac, il n’est pas de tradition dans la famille de sortir de scolarité démuni de tout diplôme. Autrement dit, il faut travailler durement. Pourtant Bertrand a le sourire. Aujourd’hui, il s’agit de géométrie, et justement, il a toujours été fasciné par les objets géométriques.

En géométrie, il aime faire naître de son rapporteur, de son compas ou de son équerre toutes sortes de courbes particulières. Parfois il maîtrise facilement leur destin, parfois certaines malicieuses prennent leur propre autonomie en se cachant derrière une équation compliquée jusqu’à ce que Bertrand réussisse à percer leur mystère en résolvant d’une manière fulgurante un système algébrique à multiples variables et encore plus d’inconnues.

Cette curiosité l’obsède depuis la quatrième où elle a pris naissance dans l’étude de l’histoire des parallèles. Deux droites parallèles ne se rencontrent jamais. Enfin, c’est ce que Madame Bernichon avait soutenu en cours. Bertrand s’était demandé comment deux droites peuvent cheminer côte à côte sans jamais se tourner l’une vers l’autre, jusqu’à l’infini. C’est comme s’il marchait aux cotés de son copain Julien sans jamais lui parler. Inimaginable ! Dès le début de l’année scolaire, Bertrand avait mis en doute cette théorie. Dans un entretien avec Madame Bernichon, resté célèbre dans l’histoire du collège, il avait déclaré que personne n’étant allé voir ce qui se passait à l’infini, on n’était pas en droit scientifique d’affirmer que deux parallèles ne pouvaient se couper. Lui pensait, qu’à l’abri des regards, derrière une planète, les deux droites finissaient forcément par se rencontrer pour échanger leurs impressions sur le long parcours qu’elles venaient de réaliser côte à côte. Pour Bertrand, ce n’était pas possible autrement. Madame Bernichon avait émis des doutes dont elle avait fait part lors d’une réunion houleuse avec les parents de Bertrand, convoqués de toute urgence pour examiner les travaux scientifiques particulièrement innovants de leur rejeton.

    

Bertrand était doté d’un tenace tempérament de chercheur. Il avait réuni un certain nombre d’indices qui lui permettaient de conclure qu’il y a entre deux droites prétendument parallèles beaucoup plus de connivence qu’on ne le lui racontait en classe. Lorsqu’il regardait de loin les maisons de son village, il voyait très clairement que la ligne que dessinait le faîte du toit et celle qui passait par le pied du mur tendaient à se rejoindre au loin. Les adultes expliquaient ce phénomène par ce qu’ils appelaient un effet d’optique, mais Bertrand y voyait déjà les prémices d’un rapprochement empressé entre les deux lignes qui se terminerait inéluctablement par une rencontre spatiale, loin, très loin du tableau noir de Madame Bernichon.L’attention du jeune garçon avait été également vivement interpellée par l’affaire des perpendiculaires. Ces droites venaient, de manière un peu abrupte à son goût, traverser les parallèles sans prendre beaucoup de précautions. D’un tempérament agressif, elles ne prêtaient pas beaucoup d’attention aux autres droites, s’imaginant avoir systématiquement la priorité au moment des intersections. De plus, à partir du moment où une perpendiculaire sectionnait une parallèle, elle allait systématiquement découper l’autre qui n’avait rien demandé et ne s’attendait pas vraiment à la violence de ce choc.

Dans cette affaire, les points de rencontre jouaient un rôle particulier. Ainsi, le point d’intersection entre la perpendiculaire et la première parallèle se voyait offrir la chance unique de poursuivre son chemin sur la seconde parallèle ! C’était effarant ! D’autant plus que si le point de concours entre la seconde parallèle et la perpendiculaire ne prenait pas le chemin inverse pour pallier le départ de son confrère, la première parallèle se trouvait être une parallèle à trous ! Il fallait donc qu’il y ait une grande coordination entre les points de rencontre sinon l’une des parallèles se trouvait amputée d’un point et, en supposant que l’arrivée inopinée de plusieurs perpendiculaires se reproduise, nous étions alors en présence de parallèles en pointillés ! L’apprenti mathématicien en avait conclu qu’il était indispensable de mieux baliser l’espace pour que les perpendiculaires ne percutent plus les parallèles. Peut-être même fallait-il imaginer un système de feux tricolores pour éviter les collisions de parallèles et de perpendiculaires. A défaut d’une organisation sérieuse, on allait, selon lui, tout droit vers un monde en pointillés. D’ailleurs par souci d’anticiper les catastrophes, il allait développer une théorie de la géométrie du pointillé.

Bertrand n’avait pas hésité à faire part de ses nouvelles découvertes à son professeur de mathématiques. Après avoir purgé ses quatre heures de colle infligée pour mauvais esprit notoire et répété, il comprit que les plus grands scientifiques n’avaient pas encore réussi à élucider toutes les questions tournant autour de la rencontre géométrique. La suite du programme de collège et de lycée allait malheureusement confirmer ses soupçons.

En première et en terminale en effet, la douloureuse question de l’hyperbole avait été abordée avec rapidité et détermination par Madame Bernichon. Bertrand avait de nouveau théorisé la question en partant du cas apparemment le plus simple : y=1/x. Voici donc, se disait-il, une courbe qui n’est pas une parallèle, sinon ce serait une droite. Jusque là tout allait bien, si ce n’était que la courbe se comportait comme une parallèle et en plus une parallèle sournoise. En effet, on prétendait – Bertrand insistait sur le « on » pour bien souligner le doute qui planait sur l’affirmation – on disait donc, que l’hyperbole tendait vers l’axe des X sans jamais le rencontrer ! Alors là, Bertrand s’indigna en haut lieu, c’est-à-dire dans le bureau de Monsieur le Proviseur où Madame Bernichon, à bouts de nerfs, l’avait conduit pour une explication mouvementée :

-   Il va falloir qu’on m’explique ! avait-il affirmé à ses interlocuteurs. Deux parallèles poursuivent leur chemin sans jamais se rencontrer. Passons, je veux bien ! Mais enfin, maintenant une courbe qui n’est pas une parallèle –notons le au passage- suit une autre droite sans jamais la rencontrer aussi ! Non, mais pour qui nous prend-on ? Et puis d’abord que devient la seconde parallèle dans cette histoire ?

Ayant de nouveau écopé de deux heures de retenue, Bertrand fut renforcé dans son idée de complot universel tendant à faire croire que des objets ne se rencontraient jamais alors que des incohérences notoires conduisaient à penser le contraire.

Après avoir repensé à toutes ses déconvenues en beau dimanche de printemps, Bertrand se replonge dans le problème du jour. Voici que surgit dont ne sait où, une droite, dont l’air penché trahit déjà d’obscures intentions. Ne pourrait-il pas s’agir d’une perpendiculaire qui se serait déguisée ? Elle vient percuter, de plein fouet, une hyperbole en un point dont il s’agit de trouver l’abscisse et l’ordonnée ! Bertrand note, au passage, qu’une hyperbole quand elle le veut bien peut parfaitement rencontrer une sécante !

Le point de concours attire l’attention de Bertrand. En y réfléchissant bien, il n’y a pas de raison, a priori, pour que cette droite et cette courbe se rejoignent, mais voici que ce phénomène très rare se produit ! Et cet accident se passe justement sur le cahier de Bertrand ! Il imagine ces deux courbes, parties depuis le matin pour suivre tranquillement des destins différents, obligées de se croiser soudainement en un seul point à cet endroit précis de son graphique :

-          Bonjour, comment ça va ? Nous pourrions peut-être échanger nos coordonnées ?

-          Vous n’auriez pas vu l’axe des X ? Je tends vers lui, mais je n’arrive jamais à le rencontrer !

Le problème qui a débuté doucement se complique. Une tangente à l’hyperbole jaillit de l’horizon et intervient dans l’histoire comme si on attendait qu’elle. Il semble que la tangente ait oublié ses papiers d’identité puisqu’on demande de calculer son équation quand elle tangente l’hyperbole. Rien que ça !

A cet instant Bertrand sourit, en prenant l’air de l’homme qui va maîtriser la situation. Il connaît les tangentes et leurs manières si particulières. Il aime cette façon élégante et très érotique dont cette droite sait frôler une courbe en un seul point. Ça lui rappelle le sentiment qui l’envahit lorsqu’à l’entrée en classe, il effleure la silhouette de Julie, la plus belle fille de la classe, s’enivrant un instant de son parfum subtil, du soyeux de sa chevelure, de sa présence si proche et si lointaine. Bref ! Il doit s’en passer de ses choses au point de concours entre la droite et l’hyperbole. Bertrand dessine ce point et le fixe : il a l’impression qu’il rougit un peu. Il pense que c’est le centre de tout : nulle part ailleurs dans l’univers, ces deux objets géométriques ne se rencontreront, c’est un point phénoménal, électrique et frustrant. Non, mais qu’est-ce qu’il attend pour parler de ses sentiments à Julie ?

Bertrand est frappé d’un seul coup par un sentiment d’injustice. On oublie un peu trop souvent que l’hyperbole comprend deux branches qui ne se rejoignent jamais. C’est comme deux êtres appartenant à une même famille qui ne pourraient jamais se croiser. C’est injuste et dramatique. De surcroît, la tangente dont il est question ne peut effleurer que l’une des branches, l’autre ne bénéficie pas de cet attouchement. N’y aurait-il pas là un phénomène de discrimination inavoué ? Ce n’est pas dans l’énoncé du problème, mais Bertrand décide de tracer la tangente à la seconde branche de l’hyperbole. Il expliquera au prof qui n’a sûrement pas perçu cet aspect de la situation qu’il ne pouvait être envisageable, dans un devoir donné par l’Education Nationale, de cautionner une injustice sociale de cette ampleur. Le professeur conviendra donc forcément que l’on équilibre le graphique par une droite supplémentaire qui viendra doucement tangenter la seconde branche.

Si Bertrand n’obtient pas satisfaction à une revendication aussi essentielle, il pourrait monter dans sa classe un Mouvement pour l’Egalité des Chances des Deux Branches de l’Hyperbole. Il est déjà sûr d’enrôler Moulinot. Moulinot est le leader d’extrême gauche de sa promotion, il est partant pour tous les coups. Surtout ceux qui dérangent l’ordre établi. Il s’enorgueillit d’ailleurs du titre de correspondant régional du Parti Démocratique Pour le Retour du Moulin à Café à Mains, c’est dire !

Voilà, nous avançons. Bertrand a déjà répondu à trois questions, sans compter celles qui n’étaient pas posées. Au petit d) du grand 3, apparaît un nouvel arrivant ! Un cercle que personne n’avait vu venir ! Il est là, impavide et royal : sans autorisation, il a installé son centre sur le point de concours des axes de coordonnées que rien ni personne n’avait tenu informé.

Les axes des X et des Y se rencontrent toujours au même point. Ils y ont leurs habitudes, se connaissent et aiment à discuter librement tandis que les autres courbes se rejoignent ici et là dans le plan au gré des énoncés de problèmes. Il n’y a vraiment que l’origine des ordonnées et des abscisses qui soit un point de rencontre stable qu’on retrouve à chaque exercice. D’ailleurs, Bertrand aime bien regarder le point (0,0) : il est indispensable et rassurant. On se demande bien comment, on pourrait tracer d’autres courbes sur un graphique sans ce point de repère. C’est un peu la gare de triage d’où partent toutes sortes de courbes vers l’infini. D’ailleurs, on pourrait imaginer d’enregistrer des messages vocaux pour informer les voyageurs :

-          La parabole de 8 heures 45 va partir et ne desservira aucune station jusqu’à l’infini !

-          L’hyperbole de 11 heures 13 entre en gare avec deux minutes de retard !

Mais pour revenir à l’énoncé, Bertrand est bien obligé de constater que le centre du cercle se pose exactement à cette place privilégiée. Et bien entendu, son tracé vient déranger tout le monde à commencer par l’hyperbole. Bertrand porte au crédit du cercle qu’il ne fait pas de discrimination : il coupe les deux branches de l’hyperbole en deux fois deux points, dont il serait utile, si l’on en croit le libellé du problème, de connaître les coordonnées, sans doute pour mieux superviser les conditions de ces rencontres imprévues.

Le calcul des abscisses et ordonnées de ces points de concours s’avère un jeu d’enfant. Mais l’affaire se corse. Voici qu’on apprend que le cercle n’est pas venu seul ! Il fait partie d’une famille dont chaque membre installe son milieu au même point que le précédent ! Le père, la mère, les frères, les cousins du premier cercle se distinguent les uns des autres par un paramètre « petit k » qui semble jouer un rôle mystérieux. Bertrand surveille l’installation de cette famille suspecte quand son attention est attirée par la quatrième question du problème. Un des cercles se flatte d’être tangent aux deux branches de l’hyperbole en même temps ! C’est le comble de l’érotisme géométrique. C’est comme si, lui, Bertrand, en rentrant en classe, il s’arrangeait pour frôler à la fois Julie et Amélie, qui soit dit en passant n’est pas mal non plus. Ce cercle magique qui réussit ce tour de force est un vieux libertin dont il convient absolument de déterminer le « petit k ».

Alerte ! La dernière question pousse la famille de cercles à délocaliser son centre sur un autre point du plan. Bertrand s’est toujours méfié des cercles : il faudrait qu’on prenne des mesures pour éviter ces déplacements intempestifs qui dérangent tout le monde. En un mot, il est temps de sédentariser ces gens du voyage. Il lui faut recommencer à recalculer ce fameux « petit k » de telle façon qu’un des cercles viennent tangenter la branche de l’hyperbole à l’intérieur. Bertrand n’aurait jamais imaginé une telle position possible. Des images pornographiques lui viennent à l’esprit. Et s’il se refusait à donner une solution à un tel problème ?

Bertrand ne répondra à cette question, ses parents n’apprécieraient pas. Il préfère tracer une parabole dont le comportement lui parait beaucoup plus correct. La parabole possède deux branches qui s’en vont, elles aussi vers l’infini, lieu de rendez-vous de toutes les courbes lisses et propres, alors que le cercle n’est qu’une courbe repliée sur elle-même. Bertrand pense que le cercle est doté d’un caractère sournois, puisqu’il ne montre jamais son début ni sa fin et puis surtout parce qu’il ne s’enfuit jamais vers l’infini pour rejoindre les autres figures géométriques. Bref, c’est un être replié sur lui-même qui ne communique pas. Il ne l’a pas encore étudié, mais il parait que le cercle a une cousine dont l’attitude est encore pire : l’ellipse !

La parabole de Bertrand coupe joliment les branches de l’hyperbole en plusieurs points qu’il orne de leurs coordonnées pour qu’ils se reconnaissent bien dans l’ensemble de la figure et ne souffrent pas d’une crise identitaire. Le lycéen juge que son graphique prend une tournure plus convenable, les intersections sont nettes et franches et non pas furtives et hypocrites comme le comportement des tangentes.

Il regrette, peut-être, l’absence d’une sinusoïde. Il aime bien ce style ondulant, comme si la géométrie hésitait : vous croyez que je vais vers le haut, et hop, je retourne vers le bas. La trajectoire de la sinusoïde lui rappelle celle de la boule de son flipper préféré : à peine a-t-elle touché un obstacle qu’elle est renvoyée vivement vers l’autre. C’est décidé, Bertrand va rajouter une courbe de ce type à son graphique ! Certes la question n’était pas posée, mais Bertrand trouve qu’on comprend mieux la logique d’ensemble de l’histoire si l’on fait intervenir une sinusoïde.

Le géomètre prend un peu de hauteur pour mieux dominer son sujet. Son graphique commence à lui plaire : toutes ces courbes qui s’élancent dans toutes les directions ressemblent à une carte routière ou alors aux branches d’un marronnier en fleurs. Mais justement comment se fait-il qu’en prenant des sens opposés, ces courbes tendent toutes vers l’infini ? Y aurait-il plusieurs infinis ? La science mathématique n’admet, apparemment que deux sortes d’infinis : « moins l’infini » et « plus l’infini ». Cette dualité ressemble dans l’esprit de Bertrand à l’enfer et au paradis. Il essayera demain de glisser une phrase du type « quand f(x) tend vers le paradis », histoire de voir ce qu’en pense Madame Bernichon.

Bertrand en conclut que, s’il y a deux infinis, il doit y avoir plusieurs chemins pour y aller comme il existe plusieurs manières d’accéder au paradis ou à l’enfer. Mais l’idée de l’existence d’une bonne demi-douzaine d’infinis lui plairait bien. Chaque catégorie de courbes aurait son infini où les locataires pourraient se rejoindre et parler entre elles avant de voyager sur les cahiers des écoliers ou bien en rentrant de leurs pérégrinations.

Bertrand n’est pas encore tout à fait satisfait. Il aimerait bien inventer sa propre courbe. On l’appellerait la courbe de Bertrand comme il existe la courbe de Gauss. Elle dessinerait des arabesques particulières que chacun reconnaîtrait au premier coup d’œil. Son œuvre aurait l’élégance de l’hyperbole, la sage symétrie de la parabole et la fantaisie de la sinusoïde. Elle couperait les autres courbes correctement en les avertissant du lieu et de l’heure de son passage. Elle assurerait tous les jours une liaison régulière entre « plus l’infini » et « moins l’infini » afin que ces deux mondes soient enfin réunis. Il faut absolument que je travaille à l’équation de ce phénomène géométrique, se dit Bertrand.

Le devoir s’achève. Avant de ranger équerre, compas, crayon, l’artiste finit son chef-d’œuvre d’une signature élégante. Il est alors tiré de sa rêverie parla Neuvième symphonie du grand Beethoven.

Son portable, resté sur la couverture de son lit, l’interpelle en musique. Bertrand n’en croit pas ses yeux ni ses oreilles : c’est Julie qui requiert son aide. La voie de la jeune fille hésite un peu, puis se raffermit :

-          J’aimerais bien qu’on discute de cette histoire de tangente, j’ai une idée à et soumettre… Nous pourrions nous rencontrer ! Rappelle moi tes coordonnées !

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